Le retour du topic Maths
Et oui ... 1000 messages en quelques mois ... sans être du flood à gogo, ça arrive ^^
En espérant un troisième ^^
 
Le topic de départ
 
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Ce topic a été lancé le 25/6/2003 afin de regrouper les amateurs ( enfin pas trop ) de mathématiques de judgehype. Plusieurs niveau sont représentés allant du lycée à des bac+5 et plus.
Le flood intensif n'a pas réellement sa place ici :x
 
Avertissement dédié à ceux qui postent des exercices scolaire : Nous ne sommes pas la pour résoudre bêtement vos exercices de classes, mais plutot pour vous guider, vous donner des indices
 
I Quelques liens :
 
Topic JH et Contributions :
Discussion autour de l'epreuve de mathematiques du bac S 2003  
Introduction à la topologie differentielle par tamamanquitaime Vulgarisation necessitant tout de meme 1 bon kilo d'aspirine ^^
De l'intérêt des hypothèses par tamamanquitaime
Relevé/abrégé sur la théorie des ensembles par tamamanquitaime ( une fois n'est pas coutume ).
 
Liens externes :
 
http://abc.math.free.fr/ (FR)  Qq references utiles.
http://www.france-examen.com/ (FR)  Pour les sujets de bac/brevet
http://www.polytechnique.fr/eleves [...] st.php?f=1 (FR)  Aide aux devoirs
http://www.yaronet.com (FR)  Les calculatrices TI ...
http://www.mathkang.org/fractal/ (FR)  Une liste de diffusion cree par les organisateurs du kangourou
http://www.mathkang.org/ (FR)  Le site du Kangourou ( epreuve de mathematiques sous forme de QCM )
http://www.webmaths.com (FR)  Un annuaire mathematiques
http://www.maths-express.com/BAC-E [...] -OLYMP.htm (FR)  IOM, Olympiades academiques et Concours general
http://www.mathprepa.com/ (FR)  Tout sur la prépa scientifique.
http://www.les-mathematiques.net/ (FR)  Cours de mathematiques superieurs
http://www.sciences-en-ligne.com/m [...] ience.html (FR)  Article sur les mathematiques appliques a l'informatique
http://www.sciences.ch/ (FR)  Bagage mathématiques pour la physique.
http://perso.wanadoo.fr/megamaths/ (FR) Téléchargement gratuit de documents mathématiques pour le supèrieur
http://www.dms.umontreal.ca/~giroux/ (FR) Cours d'analyse et de théorie de l'intégration
http://www.ars-cryptographica.com/ (FR) Cours de cryptographie et de crytanalyse
http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/msf (FR) Mathématiques Sans Frontières : académie de Aix. Sorte de concours/jeu mathématiques pour les collégiens
http://www.chronomath.com/ (FR) Histoire des mathématiques
 
 
http://mathforum.org/ (EN)  Une bible ... fouillie :\  
http://mathworld.wolfram.com/ (EN)  Une sorte de dictionnaire des maths bien organisé, malheuresement peu approfondi. Actualités du monde mathematique
 
II Intervenants réguliers du topic  
 
 

• Arkadin, eleve en math sup'     Photo
• Barbyturic, professeur au college/lycee en maths
• Dark Angel, fini sa math spe'  
• Dissislapeste, 1ere S  
• Harkhih, license de maths, bientot maitrise  
• Marav, dans une ecole d'ingenieur (laquelle ? )  
• Playlist, Master de Mathematiques financieres - Acturiat au boulot  
• Sarabiyo, 1ere S  
• Shindo, Licence, maitrise de math appli, dess de Cryptologie  
• susan doe, prof de maths au college et lycee       Photo
• tamamanquitaime, Master de Maths à l'Ecole Polytechnique de Lausanne.        
• TheDiablito, eleve de MPSI  
• Umagan, prof de maths  

 
Pour la liste de tous les intervenants cliquez sur le nombre de message dans la Taverne.

III Quelques problemes:
 
Problème n°1 :
Comment prouver que 6.999999... = 7 ?
 
Barbyturic apporte une demarche dans ce message  
et Harkhih apporte une reponse ici  
Version PDF  
 
Problème n°2 --> La conjecture de Syracuse  
 
Problème n°3 --->  Petite enigme sur un mouvement ds l'espace  
Element de reponse  
 
Problème n°4 --->Etude des %  
Réponse  
Version PDF  
 
Problème n°5 ---> Probleme de Napoléon  
 
Problème n°6 ---> Problemes autour des equations  
 
Problème n°7 ---> Comment draguer avec un peu de logique ...  
Elements de réponses  
 
Problème n°8 ---> Exercice sur une suite particuliere ...  
Une remarque interessant de la part de Barbyturic  
 
Problème(s) n°9 ---> La page 9 est assez particuliere, elle est entierement consacre un ensemble de probleme de different niveau ( le probleme de Dissislapeste est tres accessible ) qui tourne autour du mouvement du cavalier dans les echecs
 
Problème n°10 ---> Irrationalite de racine de 2, et exercice lié  
Aide  
Réponse ( a verifier )
Version PDF
 
Problème n°11 ---> Dérivée et convexité
Solution
Version PDF
 
Problème n°12 ---> Fonction continue et propriété des réels n°1
 
Problème n°13 ---> Fonction continue et propriété des réels n°2
Indication n°1
Indication n°2
 
Problème n°14 ---> Existence et unicité d'un point équidistant de trois autres.
 
IV Sujets dans l'ordre d'apparition :
 
- Relation entre 6.99999999... et 7. Différence entre intuition et démonstration  
- Conjecture de Syracuse.
- Qu'est ce que les mathématiques, la mathématique. Une science ?
- Plan ecleudien, plan non euclidien. Exemple d'un mouvement sur Terre.
- Pourcentage et paradoxe.
- Problème de Napoléon et centre d'un bi-point.
- Résolution d'équation.
- Logique et drague.
- Quadrature du cercle.
- Autour des bases 2, 10, 16. Les IP.
- Autour d'un échéquier - Théorie des graphes.
- Irrationalité de racine de 2 et autre compère.
- Théorie des dimensions.
- Délire mathématique ...
- Arithmétique.
- Espace topologique.
- Suite de Fibonacci.
- Polyèdre.
- Probabilitées.
- Espace vectoriel.
- Sur l'enseignement des mathématiques.

V Bibliographie  
 
Secondaire
 
 

• Entrainements/Cours sur les compétitions :

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• Problem-Solving Strategies, Arthur Engel, Springer.

L'avis de SaraBiYo : Livre en anglais d'une richesse impressionnante, contenant plus de 1300 exercices. Cependant les cours et démonstration sont peu présents et il est totalement inadapté à l'initiation à ce type d'exercices.
 

• Les mathématiques du COK, Marc Bachmakov, ACL - Les éditions du Kangourou  

L'avis de SaraBiYo : Parfait pour une initiation et les Olympiades de première. On regrettera le peu d’exercices présents.
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• Cours scolaire : Mathématiques pour la 2nd, 1ereS, TS obligatoire & spécialité, IREM de Poitiers, Bréal.

L'avis de SaraBiYo : : Une collection qui se démarque des autres par la rigueur du cours et la présence d'exercices d'un niveau élevé.
 

• Jeux et divertissement : Petits problèmes quotidiens de probabilités ( et leurs solutions ), G.Frugier - G.Mathieu ( dessinateur ), ellipses

L'avis de SaraBiYo : : Des problèmes de proba niveau TS humoristique.
 
 
Supèrieur
 
 

• Algèbre :  

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• Undergraduate Algebra : Second Edition, Serge Lang,  Springer-Verlag.

L'Avis de Maman : C'est pas un mauvais bouquin, dans le sens où il contient tout le savoir de base en algèbre. Néanmoins, il est assez mal présenté, mais c'est un bémol assez léger, on s'y fait vite. Comme d'habitude chez Springer, on évite de balancer des « preuve à l'exercice » partout , ce qui est assez frustrant lorsque l'on recherche quelque chose et que l'on manque de temps ou de recul pour s'attaquer à la preuve soit-même.
 

• Algèbre pour la licence, Lionel Schwartz, Dunod.

L'Avis de Harkhih : Vraiment passionnant à lire, tout le savoir que se doit de posséder un étudiant de second cycle universitaire y est, certaines preuves sont cependant quelque peu succintes et peu évidentes à aborder. En bonus un petit topo sur la cryptographie (système RSA par exemple) et sur les codes correcteurs d' erreurs.
 

• Théorie de Galois, Charles-Michel Marles, Pilippe Philibossian, Ellipses.

L'avis de Harkhih :Le titre est un peu fort comparé au contenu du livre : la pleine théorie de Galois n' y est en fait abordée qu' au onzième des dix-huit chapitres de ce livres ! On peut cependant trouver tout un tas de sujets inévitables pour ceux qui souhaitent s' orienter vers les concours d' enseignements (problêmes de construction, résolubilité des équations polynomiales, algébricité/transcendance ... C' est vaste, et c' est très bien présenté.
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• Topologie et topologie algébrique :  

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• Topology, second edition, James R. Munkres, Prentice Hall.

L'avis de Maman : Le bouquin  du siècle ! Foncez !
 

• Topologie générale, Jean Dixmier, Presses Universitaires Françaises.

L'avis de Harkhih:
Considéré comme un incontournable par beaucoup d' enseignants, il ne faut surtout pas se fier à sa petite taille et à son aspect vieillot : il est à la hauteur de sa réputation. Le contenu est très dense.
L'avis de Maman :
Le Dixmier, c'est de la merde, le Dixmier, c'est de la merde, le Dixmier, c'est de la merde, le Dixmier, c'est de la merde, le Dixmier, c'est de la merde, le Dixmier, c'est de la merde. ( maman va me tuer )
 

• Théorie de la Mesure et de l' Intégration, Ahmed Bouziad, Jean Calbrix, Publications de l' Université de Rouen.

L'avis de Harkhih :
Mon coup de coeur et parce que je suis fier de ma fac : ce livre a été écris par deux de mes profs et j' ai assisté aux cours de M. Bouziad (mais en topologie). Toutefois le contenu est TRES dense et la présentation haustère ( ) en rebutera plus d' un. Cet ouvrage reste néanmoins très complet et va bien au-delà du programme de Mesure et Intégration traditionnellement enseigné en licence.
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• Analyse Fonctionnelle : Analyse Fonctionnelle : Théorie et Applications , Haïm Brézis, Dunod.

L'avis de Maman : Pas mal pour des détails. J'apprendrais pas dessus ceci dit, là, je n'ai pas de référence autre à vous donner, si ce n'est vos notes de cours
 
 

• Analyse Numérique : Analyse numérique et équations différentielles, Jean Pierre Demailly.

L'avis de Harkhih :
Sûrement l' un des meilleurs pour ce qui est de l' analyse numérique. J' adore.
 

• Analyse :  

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• Analyse I, II, III, Shrishti D. Chatterji, Presses Polytechniques & Universitaires Romandes.

L'avis de Maman : C'est dense, il y a beaucoup de choses. Un puit de savoir  sur l'analyse de premier cycle. Mais pas indispensable non plus, puisque ces choses traînent sur le Web sous forme de polycopiés...
 
 

• Analyse réelle et complexe, Walter Rudin, Dunod.

L'avis de Harkhih :
Sûrement l' un des plus connus et pour cause : il est effroyablement complet !
Je viens seulement d' en commencer la lecture, donc je peux pas en dire beaucoup plus.
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• Géométrie Riemannienne :  

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• Riemanian Manifolds, An Introduction to Curvature, John M. Lee, Springer-Verlag.

L'avis de Maman : Y'a du dense. Pour spécialistes.
 

• Riemaniann Geometry, William Boothby , Academic Press

L'avis de Maman : Pour une bonne introduction.
 

• Riemaniann Geometry, Gallot, Hulin, Lafontaine, Springer University Texts

L'avis de Maman : mon coup de coeur, un peu plus technique, mais fantastique.
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• Géométrie Différentielle :

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• Differential Geometry, Sharpe, Springer-Verlag.

L'avis de Maman : Idem.
 

• Calcul Differentiel & Geométrie, Daniel Leborgne, Presses Universitaires Françaises

L'avis de Maman : Bonne introduction, et le calcul différentiel y est bien traité, les sous-variétés y sont montrées de manière à pouvoir être abordées au premier cycle. Très chouette
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• Topologie Différentielle : Topology from the differentiable viewpoint, John Milnor, Princeton Landmarks in Mathmatics :  

L'avis de Maman : Très chouette pour la théorie du degré (deuxième cycle).
 

• Calcul différentiel : Calcul différentiel, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marle, Ellipses.

L'avis de Harkhih :
Tout le contenu traditionnel du calcul différentiel s' y trouve : différentiabilité (évidemment), mais aussi les grands théorêmes (inversion locale, fonctions implicites). Également de nombreux chapitres sur les équations différentiels ordinaires.
Un bon support du cours qui a le mérite de pouvoir apporter un éclairage différent.
 

• Probabilités :

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• Probabilités, Sheldon M. Ross, Presses Polytechniques & Universitaires Romandes.

L'avis de Maman : Bôf, mais une introduction qui en vaut une autre. Plein d'exos, c'est l'avantage.  
 

• Probability : Theory & Examples, Grimmett & Stirzaker.

L'avis de Maman : Pas mal du tout, une sacré partie sur les processus stochastiques. L'inconvénient : les preuves doivent en partie être faites par le lecteur. Complètement débile.
 

• Probability: Theory and Examples, R. Durrett, Wadsworth & Brooks/Cole

L'avis de Maman : Excellent, rien à redire.
 

• Brownian Motion and Stochastic Calculus, Karatzas & Shreeve, Springer

L'avis de Playlist : Le meilleur livre dans son genre.
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• Cours généralistes et ressources du supèrieur :

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• Cours de mathématiques 4 tomes, Lelong-ferrand arnaudiès, Dunod.

L'avis du Papa SaraBiYo : En attente
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Réservé

D'accord

Pour repondre a plusieurs posts de l'ancien topic:
 
@Fou: c'est pour t'apprendre different raisonnement. Cela t'aide et t'entraine a reflechir
 
@Manda: la glande organisee existe dans toutes les ecoles dans certaines il n'y a que les cours d'anglais qui sont obligatoires... (c'est du vecu...)
 
@Sarabyo: ce n'est pas dans les grandes ecoles que l'on renconter forcement les mathematiciens (ou c qu'on assimile a des mathematiciens) les plus brillants Cependant, apres la prepa c'est a toi de choisir si tu veux te "loqueliser" ou de continuer a travailler la tete dans le guidon, et avec la carotte devant toi
 
 
Voila longue vie au poste 2 du poste des mathematiques

Je ne sais pas si un n°2 est une nécessité.
 
On aurait pu imaginer d'autres formes pour les maths sur Judgehype, non ?

Comme ?

Comme un wiki.  
 
Je vais essayer de faire des tests sur ma machine.

/agree Maman, les fruits c'est sain, mangez-en.

 
Euh... c'est quoi un wiki?...

Litteraire en perdition se demande bien ce qu'il est venu faire içi  

Un système d'édition de contenu internet.
Modifiable à loisir par n'importe quel internaute (avec systèmes de sauvegardes et tout et tout).
 
Par exemple, mon ami Joachim en teste un en ce moment (c'est ici ), et Eltsyr en a parlé récemment sur JoL, ça doit se trouver sous ton curseur .
 
Le problème est le format.

Ah, d'accord...
Bon, je suis tombé sur un truc assez drôle sur http://www.les-mathematiques.net/  
Comme je ne voulais pas recréer un topic juste pour ca (d'autant que ca ne va probablement pas faire rire tout le monde ), je me permets de le mettre ici : je me suis revu en fac...
 
 
 
QUELQUES REGLES DE BASES DU MATHEMATICIEN
 
Quand vous ne comprenez plus ce que vous faites, faites-le rigoureusement.  
Quand vous ne comprenez plus ce que vous dites, dites-le avec encore plus de conviction.  
Une erreur doit être reproductible : elle doit toujours donner le même faux résultat.  
D'abord, soit sûr du résultat. Ensuite, démontre-le.  
L'expérience acquise est directement proportionnelle aux fausses démonstrations publiées.  
Une publication est essentielle : elle montre que vous avez travaillé.  
Le mieux pour étudier une démonstration est d'essayer de la faire soi-même avant.  
En cas de doute, soyez convainquant : parlez vite et autoritairement.  
Ne croyez pas aux miracles, comptez sur eux.  
Le travail en groupe est essentiel : il permet de faire porter la faute sur quelqu'un d'autre.  
Et rappelez-vous, cultiver sa notoriété est cent fois plus rentable que cultiver ses connaissances.  

Je voudrais poser une question : ce topic sert a quoi ?
ils sert a poser des probléme pour que les boss des maths repondent ou il sert a parlé de math entre deux flood sur la tavernes ? merci
Si c'st le premier cas : j'ai qq pb a vous posé

On évite de flooder en fait (raison pour laquelle le fil précédent a mis des mois avant d'atteindre les 1000 messages de fermeture).
 
Tu peux poser tes questions, sans garanties de réponse : il sert essentiellement à parler de maths entre amateurs, en théorie pas à faire tes devoirs (mais ça se négocie).

En fait j'ai un gros pb : depuis que je suis rentrer a l'IUT (informatique) je n'aime plus le math. Le prof a reussi en moin d'n mois a me faire detester le math alors qu'au lycée je prenait du plaisir a en faire. Mais la je bloque : je trouve les math totalement inutile et surtout bcp trop abstrait. Les resolution de problémes de mon prof sont limite du "ta rien vu j'tenbrouille" et je ne vois en toutes ces equation aucune justification au probléme donné. Les cours ne sont qu'un enchainement perpetuelle de théoréme qu'il faut connaitre par coeur mais que l'on doit admettre car les verification sont soit trop compliqué soit abente.
C'est...c'est grave docteur ?

@X1Alpha
Moi c'est le contraire Depuis que j'y comprends plus rien ( ironie, hein ... ) ca me passionne !
Mais bon, c'est une bonne chose de ne pas aimer les maths au bout d'un moment, ca t'evitera de crever dans la misere
 
@Maman
Je connaissais un peu le principe du Wiki ... Cependant, si on passe à quelque chose de plus complexe, ne serait-il pas plus judieux de prendre un système orienté math, et donc une gestion de MathML( ou autre, genre LaTeX ) comme WebEQ ?
L'idéal serait l'idée du Wiki couplé à ce type de programme ... mais a ma connaissance, ca n'existe pas ... et à programme c bcp de boulot.

Je me suis inscrit à une liste de Wiki pour en discuter.
Remarque que le problème est le même ici.
En fait, c'est intéressé de ma part, puisque je compte créer un Wiki dédié aux mathématiques, pour obtenir quelque chose de plus sérieux que la WiKipedia.

Tout a fait.
Je dis simplement que je pense que l'investissement vaut le coup seulement si on a une plus-value

C'est pas mal la Wikipedia qd meme ...
Par contre les générations de formule ont l'air d'etre en LaTeX ... ce qui implique un composant serveur
Tu pourrais m'envoyer ici ou en MP la liste Wiki ?

La génération se fait grâce à LaTeX2HTML je pense. Ca peut être utilisable.
 
Je retrouve l'adresse de la liste WiKi et je t'envoie ça en MP sans faute

LaTeX2HTML si je ne me trompes pas, est une exe client, donc il faut un autre appel pour le rendre serveur.
Et donc ca implique un hebergement qui accepte de lancer ces composants :\

salut,
 
j'aurais besoin d'aide pour un DM sur les dérivées... voilà les exercicces sur lesquels je bloque:
 
f est la fonction définie sur R - {-1} par f(x)=(2x)/(1+x) et Cf est sa courbe représentative.
 
1) déterminer les points de Cf en lesquels la tangente a Cf est parallèle à la droite d équation y = 4x
 
2) existe t il des tangentes à Cf passant par O (0;0)
 
 
 
 
2eme exo:
la droite d équation y=7x+9 peut-elle etre une tagente à la courbe déquation y= x^3+4x+11, si oui en quel(s) point(s) ?
 
 
j'ai vraiment du mal... et jai besoin de votre aide

f définie dérivable.. fonction quotient de deux polynomes
calcul de la dérivée de f: f'(x) = 2 / (1+x)²
dérivée de 4x = 4
 
on pose f'(x) = 4
résolution..
- (4x²+8x+2) / (1+x)²
(1+x)² > 0
 
polynome 2x²+4x+1
x1 = V2 / 2 - 1
x2 = - V2 / 2 -1
 
sans/avec () calculatrice avec mon cerveau de 1ere S
mais c'est très probablement faux .. ou non
 
sur ti89 ca donne: solve(4=d(2x/(x+1),x),x)

Salut
 
Je me permet d'expliciter la méthode d'Evilangelium
 

Deux droite sont parallèles lorsqu'elles ont la même pente. De plus, la pente de la tangente à une courbe en un point (x_0,f(x_0)) est la valeur de la dérivée f'(x_0) en ce point. Il te faut donc :
 
1. Calculer la dérivée f'(x)
2. Résoudre l'équation f'(x) = 4
 
Evil l'a fait pour toi (je n'ai pas vérifié). Essaie de le refaire.
 
Si tu bloques sur le 2., redis nous

Je découvre la taverne de JH sous un nouveau jour
 
Il y a ce genre de fils pour toutes les disciplines ou juste les math ?
 
Ciao,
LoneCat

bien le bonjour  à tous ! Deux choses
1  au fait, quel est le principe de ce topic??
2  je suis aussi un dingue de math en math sup (je m'accoche )
3  jaime bien moi la wikipedia

C'est indiqué : discuter de maths entre amoureux de la chose. Tous les niveaux sont représentés, et toutes les discussions mathématiques bienvenues.
 
Tu peux bien sûr poser tes questions, si elles ont un intérêt autre que mécanique je suis persuadé que les intervenants te donneront un coup de main

 
pour f'(x), aucuns problemes mais je comprends pas ta méthode ensuite, quand à tamamanquitaime, les (x_O) je vois des dessins de lapins avec un oeil au beurre noir, mais rien qui ressemble a des coordonnées pour moi
 
ex: A(a;f(a))
 
je pensais calculer f'(x) pour la courbe Cf, puiss voir si l eq de la droite correspond, mais la prof nous a dit que ct une histoire de coeff directeur puisque 2 droite sont // si elles ont meme coeff directeur , donc jai encore besoin d explications sur le sujet

Mon x_0 c'est pas un lapin, c'est un x avec un zéro en indice , moi j'utilise la syntaxe \latex pour les nuls 1.0 dantaface avec tes lapins à la con
 
Ex : A(a,f(a)) mais en remplaçant a par x_0 et en utilisant les notations du début du siècle dernier préservées par mandarinat
 
1. La pente de la tangente en un point, c'est la valeur de la dérivée en ce point.
 
2. Le coefficient directeur pour moi ça s'appelle la pente, début du siècle tout ça
 
3. En conséquence pour trouver les points où la dérivée a pente 4 tu résous f'(x) = 4, parce que 4 c'est la pente de la tangente.

oui ms je vois tj pas d ou il sort le - (4x²+8x+2)

Moi non plus : je vois f'(x) = (4x + 2)/(x+1)^2 et la résolution de f'(x) = 4 m'amène à chercher les solutions de 2x^2 + 2x + 1 qui n'a pas de solution.

Bijour à tous, bonne année !
 
Tiens, un post qui remonte. ^^
 
Bon, puisque je passe par là, j' en profite pour poser une petite colle. Rien de bien méchant, mais ça me turlupine depuis hier ...
 
En Analyse Fonctionnelle, on voit classiquement les théorêmes de Hahn-Banach sous diverses formes. Bien, c' est de la première version que je veux parler ici (en quelques mots : dans un EVN réel E, on prend une application p de E dans IR sous additive et positivement homogène, puis on prend un sev G, et une application g dans son dual algèbrique G*, majorée par p, alors on peut prolonger g par f de E* toujours majorée par p).
 
Théorême que je trouve assez fin, mais toutes les démonstrations que je connais sont uniquement axiomatiques. Que ce soit celle de mon cours, celle du Brézis ou celle du cours en ligne de l' ENS, toutes font appel au lemme de Zorn.
 
Donc, et c' est là ma question, existe-t-il une preuve (quelle que soit son niveau, ce genre de renseignement m' est totalement inutile point de vue cours, c' est juste une curiosité de ma part) plus constructive ? Car en fin de compte, la (y a plusieurs variantes, mais toutes reviennent finalement au même) preuve justifie juste l' existence de la fonction "prolongeante".
 
Bref, peut-on construire (plus ou moins mais certainement moins que plus j' immagine ) simplement cette fonction "prolongeante" ?
 
Merci d' avance.
 
Je sais pas pourquoi, mais j' ai l' impression que je vais recevoir une claque façon théorie de la démonstration ou quelque chose du genre.  
 
++

Pour moi, Hahn Banach c'est la possibilité d'étendre une application linéaire bornée f  sur un sous-espace à valeurs dans K (=IR ou C) à une forme linéaire continue sur l'espace tout entier. L'important d'ailleurs n'est pas ce théorème mais bien son corollaire qui affirme qu'un vecteur est nul si, et seulement si, toute forme linéaire l'envoie sur 0.
 
A ce que j'en sais, la preuve, c'est l'axiome du choix. Rapport à l'existence d'une base ? Probablement puisque la démarche est naturelle en dimension finie. Auquel cas tu ne t'en passera pas. Mais la question m'a turlupiné plus d'une fois. Je vais me renseigner. Plus fondamentalement, on peut se demander si Hahn-Banach est équivalent à Zorn
 
Le dual c'est le dual topologique, tu veux étendre à une forme linéaire continue  
 
Il y a d'autres explications qui me viennent, il faudrait regarder ce qu'il se passe sur les modules libres. On a un théorème de propriété universelle qui dit peu ou prou un truc qui ressemble :-/

 
Là ça ressemble plutôt à ce qu' on a appelé les formes analytique du théorême de Hahn Banach, mais j' y reviens un peu plus bas pour ce qui est de la question de continuité.
 

 
C' est un corollaire que je ne connaissais pas, même en TD on ne l' a pas vu.
 

 
Oui, ça m' a traversé l' esprit ce midi en mangeant.  
 
Le seul théorême que j' ai vu être prouvé comme équivalent à Zorn jusqu' à présent c' est Tykonov (le cas général).
 

 
Dans ce que notre prof nous a ennoncé comme étant le premier théorême de Hahn Banach (premier par ordre d' apparition dans le cours, chronologiquement, j' en sais rien), c' est bien des formes linéaires quelconques que l' on prolonge, elles ne sont pas forcément continues (mais d' un point de vue strictement pratique, il est certain que les formes linéaires sont plus intéressantes lorsqu' elles sont continues).
 
Peut-être ma notation n' est-elle pas universelle ?
E* dans la littérature anglo-saxone désigne le dual topologique de E non ?
En France, traditionnellement, on note E* le dual algébrique et E' le dual topologique.
 

 
 
A part pour un nombre complexe, je ne sais absolument pas ce qu' est un module. :x
 
++

C'est autant et toujours la joie on n'a jamais les mêmes noms de théorèmes tous les deux
 
Donc il va falloir détailler
 
Soit E un espace vectoriel normé sur R ou C. Son dual topologique est l'espace normé (E*, || . ||_*), où  
 
 

• E* est l'ensemble des formes linéaires continues sur E.
• || f ||_* = sup{ |f(x)|/x | x \neq 0 }

 
Le dual topologique est toujours complet (puisque IR ou C le sont).  
 
théorème de Hahn Banach : Soit E un espace normé sur K = IR ou C, et soit f : D(f) --> K une application linéaire, telle qu'il existe M > 0 vérifiant |f(x)| < M pour tout x dans D(f).
 
Alors il existe f* dans E* telle que ||f||_* < M et f* et f coincident sur D(f).
 
 
Voilà. La preuve de ce théorème est basée sur l'axiome du choix.
 
Maintenant, pendant que je rédigeais ce message mon pote Olivier qui a fait visiblement bien plus d'analyse fonctionnelle que moi vient de me demander :  
 
- de quoi tu discutes ?
- de Hahn-Banach
- quelle version ? topologique ou algébrique ?
- ah ben tu fais bien de demander parce que justement j'en étais à me demander [...]
- ben des versions de Hahn Banach y'en a 8, dont une sur les espaces localement convexes et une autre sur les espaces à mesure diagonale (moi je sais pas ce que c'est que ce truc NdTMQT)
- Hou ben ^^
 
Donc voilà : j'ai appris un truc aujourd'hui : je ne connais pas assez d'analyse fonctionnelle. Je vais donc me plonger dans un bon cours quand j'en aurai le temps
 
Un module, c'est un groupe muni d'une loi externe à coefficients dans un anneau unitaire - ce qui généralise donc simplement la notion d'espace vectoriel. Il y a énormément de choses à en dire, mais simplement : c'est une généralisation suffisante pour que l'essentiel ne fonctionne plus, par exemple trouver un sous-module supplémenaire n'est plus automatiquement possible, les bases c'est pas encore ça, bref c'est plus complexe. Mais c'est énorme pour la théorie des nombres.

 
OK, bon ben c' est parti. Alors, celui qu' on a appelé premier théorême de Hahn Banach, c' est celui-là (je l' ai donné en condensée tout à l' heure, maintenant je le donne en version intégrale) :
 
Soit E un espace vectoriel normé réel (y a une version sur C, il suffit d' agir sur la partie réelle, je détaillerai éventuellement plus tard).
On considère une application p : E --> IR vérifiant :
 

• p(r.x)=r.p(x) pour tout r>0 et pour tout x dans E (on dit que p est positivement homogène)
• p(x+y)<=p(x)+p(y) pour tout x et y de E (on dit que p est sous additive, c' est l' inégalité triangulaire des normes/distances)

 
On considère ensuite G un sous espace vectoriel de E et une application g du dual algébrique de G (vu que tu as déjà utilisé * pour noter le dual topologique, ici je vais utiliser disons G° ... c' est pas l' orthogonal, hein ! ), vérifiant :
 
g(x)<=p(x) pour tout x de G
 
Alors : il existe f dans E° (dual algébrique donc) vérifiant :
 

• f(x)=g(x) pour tout x dans G
• f(x)<=p(x) pour tout x dans E

 
Pour la preuve (brièvement), c' est pas très compliqué, on commence par donner un ensemble P de formes linéaires h vérifant ce qu' on veut (elles prolongent g, elles sont majorées par p sur D(h) ... ) sur un sous espace D(h) de E contenant G. On munit cet ensemble d' une relation d' ordre, et du coup on va pouvoir affirmer par Zorn que P admet un élément maximal qu' on va noter f (ben tiens !).
Restera à montrer que D(f)=E.
 
Et ça nous donne le théorême.
 

 
Je ne connaissais pas cette version.
 

 
8 versions !  
Eh ben ... belle production (et je ne sais pas non plus ce qu' est une mesure diagonale ).
 
Remarque (ça me revient à l' esprit à l' instant), mon prof d' analyse numérique des EDP nous disait, y a quelques temps, que l' on dénombrait pas moins de 28 théorêmes de Riesz (tous des théorêmes de représentation à ce qu' il nous disait), j' ai pas été vérifier personnellement, mais je veux bien le croire.
 
Pour finir, merci pour la définition d' un module, je comprends maintenant pourqoi ça n' est pas abordé à ma fac, la théorie des nombres ne fait pas partie des priorités du laboratoire local (je crois même qu' ils n' en font pas du tout ).
 
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Ok, ça ressemble pas mal à la gueule (je m'étais douté d'un truc en entendant positivement homogène et sous-additivité mais je m'étais dit que vu que nos termes diffèrent toujours ça pouvait être mis sur ce compte-là ).
 
J'ai une question toute bête (probablement très stupide car je n'ai lu la preuve qu'en diagonale je dois y aller) : pourquoi "un ensemble P de formes linéaires h vérifant ce qu' on veut" est-il non vide ?
 
Si la réponse est triviale paffe moi, mais là je file.
 
Tchô !

Tellement triviale que ça m' avait pris quelques secondes à voir, mais il est clair qu' une fonction se prolonge elle-même.
 
g (qui est dans nos hypothèses) gagne donc son ticket pour venir chez P.
 
Mais c' est vrai que ça aurait été plus clair si j' avais décrit P plus précisément :
P={h/h : D(h) --> IR avec D(h) sous espace vectoriel de E contenant G et le tout vérifiant : h(x)<=p(x) pour tout x dans D(h) et h prolonge g}
La relation d' ordre est assez naturelle :
(h1<=h2) <=> ( D(h2) contient D(h1) et h2 prolonge h1 )
 
EDIT (tardif) : en fait c' est plutôt le passage où l' on montre que P est inductif que je trouve délicat : on se donne une partie totalement ordonnée de P, que l' on note {h_i/i dans un certain ensemble d' indices I quelconque} et on construit le majorant (noté k) comme tel
 

• D(k) c' est la réunion indexée par I de tous les D(h_i)
• k(x)=h_i(x) si x est dans D(h_i)

 
Après on vérifie :
 

• que k est bien définie (là ça va)
• que k est bien dans P (plus embêtant à voir je trouve, en particulier pour se convaincre que c' est bien linéaire, ou alors y a une astuce que je vois pas )
• que k majore Q (ça me semble assez clair !)

 
Le reste de la démonstration ne pose vraiment pas de problême je trouve.
 
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