Reprise du message précédent :

 
Sauf que vu que la série de terme général 9/10^n converge tu passes à la limite dans ton équation précédente et t'obtient bien 9A = 9.  
 
On est tous d'accord que l'écriture 0.999999999 est abusive puisque par définition ça vaut 1 mais bon, à force de vouloir enculer les mouches...

reprenons l'exemple
S(N)= somme des 9/10^n pour n=1 àN
On pose A = lim S(N) avec N tendant vers l'infini => A=1
donc 10A= 10  
10A-A =9
9A=9
donc A= 1 ouf c'est bon on a bien 1=1 (heu là on tourne un peu en rond non?)
 
 
ou alors tu reprend ce que j'ai dit précédemment : 10S(N)-S(N)=9,0000......9 au terme numéro N
 
 

alors que là on a un mélange des 2
Si tu te rappelles ton cour sur les séries, tu dois te souvenir qu'il faut faire très gaffe quand on manipule le passage à la limite, certaines opérations sont interdites, notamment la sommation terme à terme de 2 séries.
 
 
Sinon comme tu dis cela revient un peu à vouloir enculer des mouches

Je pense que tu n'y es pas tout à fait, la horde. Evidemment, pi n'est pas égal à 3,14... C'est différent pour les nombres rationnels dont le développement décimal est "cyclique" à partir d'un certain rang. On apprend quand on est tout petit que 1/3 = 0,333... ou que 1/7 = 0,142857142857... et ça reste tout à fait rigoureux quand on devient grand. C'est pareil pour 1 = 0.9999... Je ne vois pas où est l'abus dans la notation. Il n'y a pas unité du développement décimal des nombres décimaux, c'est comme ça, c'est pas grave.
 
Quand à ton argumentation sur la possibilité de faire des opérations formelles, elle me semble complètement hors sujet.

et puis surtout, je vois pas en quoi 0.999999 serait moins dans IR que la valeur de Pi?

les reels sont les nombres vers lesquels tu peux converger en prenant une suite de rationnels bornée, il me semble(d'où ma question sur les suites de cauchy);or 0.99(..) c'est la limite de la série de 0.9*10 ^(-n) à partir de n=1

donc la preuve que ça vaut 1, ça peut etre:
Un=0.9*10^-n
Sn=somme (i=1..n) (Ui)
1-Sn=0.1*10^-n
où tu vois que la limite entre S et 1 est 0. sans faire de somme de série.(c'est la multiplication qui est interdite, je crois)

Perso j'étais pas tout petit quand j'ai appris la cyclicité de 1/7

 
Bon, je vais mettre mon grain de sel.
 
(merci d'écrire "pi" et pas "pie" )
 
Il est possible de définir une écriture décimale unique d'un réel, sauf qu'il est nécéssaire d'ajouter la condition qu'on ait pas que des 9 à partir d'un certain rang (je vous détaille pas le reste s'pas difficile), on a donc le réel représenté sous la forme d'une suite convergeant vers le-dit réel (utilisé pour démontrer que R est non dénombrable par la diagonale de Cantor).
 
0.999...ne rentre pas dans cette définition.
Si on abandonne l'unicité, on peut donc définir 0.999...par la même méthode, la limite de la suite étant 1 (déjà démontré 12 fois).
On avait précédemment une bijection entre R et l'ensemble E (de suites définies comme il faut) qu'on a plus, mais on a toujours une surjection (sur R), là si on veut s'amuser on peut définir des classes d'équivalence dans E :
-un singleton pour les réels à développement décimal infini (non quasiment nul), Pi, e sont là dedans
-un doublet pour les réels à développement décimal fini (quasiment nul, ça peut se mettre en forme assez bien : prendre un antécédent, disjonction de cas, si la suite est quasiment nulle ou n'a que des 9 à partir d'un certain rang elle appartient à la seconde categorie, et on peut facilement en déduire l'autre élément du doublet)
 
Dans cette optique 0.99... est considéré comme une suite, et la réalisation des opérations que tu évoque ne pose pas de problème, on a la aucune ambiguïté parce qu'on manipule des suites (les classes d'équivalence seront cohérentes).
 
On peut terminer en définissant la notation bien connue 0.15126484 par une bijection avec la suite.
On a alors aucun abus de notation, juste un formalisme (y'a même le formalisme de mettre une barre au dessus de l'éventuelle partie cyclique du développement décimal).
 
On a alors légitimement 0.999...=1
 
NB : On ne peut pas écrire les réels à développement non cyclique à l'aide de ce formalisme pour des raisons évidentes.
 
J'espère que ça satisfera ta soif de rigueur, en tout cas la mienne est étanchée  

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oups pour pi, je devais être un peu fatigué, j'aurais mieux fait d'écrire ∏
 
 
Ce que tu dis par la suite me convient parfaitement.

1 question : qu'est-ce que la diagonale de Cantor ?
Je crois pas avoir vu ça en cours, ou alors, j'ai vraiment complètement oublié

Pour démontrer que ]0;1[ n'est pas dénombrable (et donc R) :
On utilise donc un développement décimal classique, sans suite de 9 pour avoir la bijectivité.
On procède par l'absurde.

Supposons ]0;1[ dénombrable, on dispose donc de u suite de ]0;1[ tq pour tout x de ]0;1[ on ait m avec u(m)=x
Pour tout naturel n, on considère le développement décimal de x représenté par la suite v(p,n) pour p dans N.
On va maintenant construire un réel de ]0;1[ qui n'est pas dans u (en construisant son développement décimal) :
Soit w la suite définie par :
-si u(p,p)=0, w(p)=1
-si u(p,p)=/=0, w(p)=0

Pour tout naturel n, on a w(p) différent de u(p,p), donc w différente de v(n,p) à n constant, p parcourant N
Par bijection, on a donc créé y dans ]0;1[ n'étant pas représenté dans la liste u.

R n'est pas dénombrable

C'est très joli, et graphiquement c'est clair :
u(0)=0.x1 x2 x3 x4 x5...
u(1)=0.y1 y2 y3 y4 y5...
u(2)=0.z1 z2 z3 z4 z5...
etc...

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Bon, je suis complètement rouillée, pas fait de maths depuis au moins 3 ans. Déjà.
Y a plusieurs choses que je comprends pas.
Pourquoi le fait de ne pas avoir de suite de 9 est-il nécessaire pour avoir la bijectivité ?

Ensuite, la définition de u, w et v, d'accord, compris (quoique...).
w(p) =/= u(p,p) pour tout p, ok aussi
Par contre

ça, je vois pas pourquoi (y a eu une petite permutation de l'ordre des indices d'ailleurs). Et pourquoi un w(p) n'appartiendrait pas à la liste u ? Et pourquoi u a d'abord un seul indice pour en attraper 2 ensuite ?

/perdue

J'ai réfléchi et essayé de refaire la démonstration. Du coup, je suis moins perdue.

Je préfère travailler dans [0;1] pour ma part, ça évite d'avoir à se prendre la tête avec les valeurs particulières que peuvent prendre u et v (tout à 0, tout à 1). Je ne pense pas que ça change grand chose à la preuve elle-même.

On suppose [0;1] dénombrable donc.
Pour tout x dans [0;1], il existe un m dans N tq u(m) = x
Soit v(n,p) € {0,1,...,9} pour n,p € N (désolée pour l'euro, ça remplace avantageusement le symbole d'appartenance je trouve).
Les u(m) peuvent donc s'écrire de la façon suivante : u(m) = 0, v(m,1) v(m,2) v(m,3) ...

Soit w la suite définie par :
-si v(p,p)=0, w(p)=1
-si v(p,p)=/=0, w(p)=0

Et là, ce que je n'avais pas compris, c'est que le y dont tu parles, agarawen, c'est y = 0, w(1) w(2) w(3) ... qui effectivement n'appartient pas à la liste u puisque les w(p) =/= v(p,p) pour tout p.

Le seul souci qui me reste finalement, c'est l'histoire de la suite de 9. Quel rapport avec la bijectivité ?

Désolé, je voulais repasser pour éclaircir ce que j'ai fait mais j'ai pas pu, mais bon, tu as éclairci à ma place    
 
Donc le dernier point.
 
Quand tu définis le développement décimal, tu définis une suite u à valeurs dans {0,1,...,9}, telle que :  
pour tout naturel n, u(n) = E(x*10^n)*10^(-n)  (E désignant la partie entière)
Le but est de représenter tout réel par une unique suite.
D'où une condition supplémentaire :
On a pas m tq pour tout n>m, la suite se prolonge uniquement avec des 9
 
Pourquoi? parce que sinon, on aurait les suites qu'on peut symboliquement écrire : 0.500000.... et 0.4999999 qui convergeraient toutes deux vers 1/2.
 
Si tu y tiens, je peux fouiller pour la démonstration exacte, mais je l'ai plus en tête là.
En espérant avoir été clair (ce qui est rarement le cas   )

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Hmm... on va dire ok pour cette fois
Disons que je comprends le pourquoi de la condition maintenant, mais sans preuve, je vais avoir du mal à être convaincue de sa nécessité.
 
T'embête pas, je farfouillerai de mon côté pour m'auto-convaincre

Quelques détails de plus ici

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question pour éclairer ma lanterne, je lis actuellement LA FILLE QUI REVAIT D'UN BIDON D'ESSENCE ET D'UNE ALLUMETTE (Millénium 2), dedans on y parle d'une énigme de Fermat (j'ai fait des recherches, le bonhomme existe bien mais rien sur cette énigme). Enfin bref, elle s'énonce comme suit : comment peut-on démontrer que pour :
 
x^3 + y^3 = z^3
 
il n'existe aucune solution dans le domaine des entiers réels > 2 et au passage si y'en a qui ont compris l'explication du livre, je prends aussi ^^

Les entiers réels?
 
Sinon le grand théorème de Fermat c'est sur la résolution des énigmes x^n + y^n = z ^n
 
 

x^n + y^n = z^n
N'admet pas de solutions entières pour n>2
 
Par contre je crois que la preuve prends quelques pages x)

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Moo-ooh,I'm a cow
Tout pouvoir excessif meurt par son excès même. - Casimir Delavigne
 
vaincra

 
c'est pas comme ça q'on dit le R avec une double barre ?
 

 
ben, c'est peut être une invention de l'auteur

@may: on dit les réels, pas les "entiers réels"

oui mais tous les réels ne sont pas des entiers.

entiers reels c'est IN
ha non ça c'est les natuels..
IN + alors?

par opposition aux entiers complexes je pense

La preuve prend quelques pages, c'est un euphémisme. Il n'y a pas grand monde sur terre capable de la comprendre en entier.
 
Mais en effet, si je me souviens bien, la démonstration dans le cas particulier n=3 n'est pas énorme.

Les cas n=3, 4 et 5 ont été démontrés très tôt. Par contre, je viens de jeter un oeil sur le web, elles ont l'air drôlement calculatoires ces preuves. Bac +1 ou 2 pour comprendre.
 
Pour le cas général, il me semblait que la preuve était récente, mais je me trompais d'une dizaine d'années, elle date tout de même de 94. Il paraît qu'il faut dire le théorème de Fermat-Wiles maintenant (d'après le nom du chercheur concerné).

Rah les joies des équations diophantiennes , Hilbert c'est cassé la tête dessus ^^
 
Amicalement !!!

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"la souffrance est le grand enseignant des hommes" "Tout ment en l'absence d'amour" "Varium et mutabile semper" "Le monde se divise en deux catégories. Ceux qui ont le pistolet chargé et ceux qui creusent ! Toi, tu creuses !" (Le Bon ) Le babil et l'éructation sont aussi éternels que l'homme, non le langage ! Je suis seulement un amuseur public qui a compris son temps et a épuisé le mieux qu'il a pu l'imbécillité, la vanité, la cupidité de ses contemporains. (Picasso)

Oula, un faute d'ortho de Barbyturic, tu devais être fatigué

Sinon d'après la légende, Fermat aurait, dans un de ces carnets, noté qu'il avait trouvé la preuve de son théorème mais il n'avait pas assez de place dans la marge pour l'écrire.

D'après les scientifiques actuels sa preuve quelle qu'elle soit devait probablement contenir au moins une erreur

C'est le genre de truc ultra-connu mais qui n'a jamais été prouvé, donc qui continue à nourrir l'imaginaire et la légende mathématique  (imaginez seulement qu'il ait trouvé une démo qui tienne dans la marge, quel outil surpuissant cela doit être )

salut
 
jsuis en pcsi, jai un soucis avec un probleme d'algebre la .. /:
 
soit G un groupe multiplicatif de Mn(IR). on note E l'element neutre de G.
 
1/ il nous font montrer que si G (inter) GLn(IR) différent de l'ensemble vide, alors G sous groupe de GLn(IR).
on suppose dans la suite que cette intersection est vide.
 
2/ montrer que toutes les matrices de G ont même image, même noyau et même rang r, 1<r<n.
 
jvois pas comment montrer la 2.
 
si vous pouviez mdonner une piste ou quoi =)
 
merci
 
 

j'aide pas mais je pose ma question sur ta question:
la question 1 demande de prouver que si une est inversible, elle le sont toutes c'est ça?
si c'est ça, comment le prouves tu?

en gros c'est cela, c'est quand même zarbi
 
Car si tu prend un groupe multiplicatif de Mn(R), il est par définition composé uniquement de matrice de Mn(R) inversible suivant la loi multiplier, sinon ce n'est pas un groupe.  
Et un sous groupe de Mn(R) contenue dans Gln(R) est un sous groupe de Gln(R).
Pour moi la question 1 est un non sens.
Quand à la 2 c'est un peu tard, et je n'ai pas les idée très clair, je verrais demain si j'ai le temps.

G n'est pas un sous groupe de Gln à priori.
tu peux avoir dedans n'importe quel neutre E de la forme diag(11000) (pour un rang 2)

du coup pour toute matrice A, il existe A- telle que A*A- = E.

en fait du coup je crois avoir compris la premiere question:
s'il y en a une qui est inversible, son rang est n, donc le neutre est diag(n); du coup chaque element inverse de A, A dans G, est A-1(appartient à G) tel que A*A-1 = E. or c'est la notion d'inverse de Gln, donc cet ensemble y appartient
c'est bon?(meme si c'est fouilli..)

pour la question 2, on pose r le rang du neutre de G: r=rg(E)
on sait d'apres la question 1 que r<n
de plus, pour un neutre, il faut que rg(E)>0 (ou alors le groupe est reduit à E?) =>r>1
on suppose qu'il existe A€G, tq rg(A)<r: € aussi A- inverse de A dans G, tq rg(A*A-) =rg(E)=r. mais ça c'est pas possible vu que rg(A)<r.
donc tu as un seul rang pour toutes les matrices.
tu fais pareil pour les vecteurs de l'image ou du ker: tu supposes que pour tout x € im/ker (E) , il existe A tq x !€ im/ker(A) . et tu prouves avec son inverse que c'est pas possible. je crois.

il faut que G se soit un groupe du point de vue de la multiplication, donc chaque élément de g est inversible dans le groupe, par contre le neutre n'est pas forcément la matrice I?
Et donc il ne sont pas forcément inversible dans Mn(R)

voui c'est ça. c'est un ensemble contenant un neutre E, et tel qu'il existe une bijection 'inv' sur cet ensemble dans cet ensemble, tel que pour tout A, A*inv(A) =E
+ loi d'associativité, mais qui est hérité de la contenance dans Gln
 
donc evidemment que si le neutre est de rang r<n, on a A * inv(A) a un rang <n donc t'as A et/ou inv(A) qui a un rang<n. du coup il est pas inversible dans Mn

pour la 1/ j'ai fais comme ça :
si G (inter) GLn(IR) different du vide, => il existe M1 €G,€GLn(IR)
=>  il existe M2€G, M1*M2=E
      il existe M3€GLn(IR), M1*M3=I
=> M3*M1*M2=M3*E => I*M2=M3*E
 
puis je dis: M1=I*M1=E*M1,
en multipliant cette égalité par M2 a droite : I*E=E²=E
en multipliant cette égalité par M3 a droite : I²=I=E*I
en considérant a nouveau l'équation M1=M1*I=M1*E, on aboutit a E*I=E=I
 
on a donc E=I
de ce que javais écrit au depart, il vient facilement M2=M3
puis de proche en proche, quelque soit M €G, M a un symetrique car (G,x) groupe, et M*M-1 = E=I
=>M€Gln(IR)  
 
 

 
jvois pas en quoi le fait que rg(A) different de r implique que rg(A*A-) different de r.
si tu pouvais expliciter =)

bah, multiplier une matrice par une autre ça reduit le rang au plus petit des deux au max non? ie, rg(A*B) <= max(rg(A),rg(B))
vu que rg(A)<r, tu as A- qui travaille sur un espace de dim <r. du coup, la dim de l'image de A- sur cet espace est <r(appliquer une matirce ça permet pas de separer un vecteurs en 2 vecteurs libres??)

un exemple: dans IR² (noté x,y)tu as la matrice de projection sur x Px, et la matrice de rotation R (x,y)->(-y,x)
vu que Px projete sur x, Px * R ne peut pas donner de valeur de y non nulle. heu, c'est evident non?

je sais j'exprime mal, mais je vois pas en quoi il peut y avoir probleme en fait..(en meme temps je suis pas tres formel..)

hm
c'est juste de dire que si A=B*C, alors rg(A)=Min(rg(B),rg(C)) ?

nan, il peut etre inferieur
par exemple, B = projection sur x, C=projection sur y. B*C=0

ok merci
 
pour montrer qu'ils ont même noyau j'ai trouvé ça: (ca me parait un peu simple m'enfin bon ) :
X€kerE => E*X=0 => A-1*A*X=0 (qq soit A€G) => A*X=0 => X€kerA
réciproque : X€kerA => A*X=0 =>A-1*A*X=0 => E*X=0 => X€kerE
donc qq soit A€G, kerA=kerE
 
pour monter qu'ils ont même image :
X€ImA, X=A*Z => A-1*X=E*Z => E*X=A*Z => E*X=X => X€ImE
reciproque meme idéé.
 
ca parait juste ?

X€kerE => E*X=0 => A-1*A*X=0 (qq soit A€G) => A*X=0
me parait faux...

ou est la faute ?

c'est pas parce que A-*A *X =0 que A*X=0.. enfin, je vois pas en quel honneur. faut le prouver si c'est vrai(ou le sortir du cours)

par contre, je suis d'accord, si X€Ker(A), A-*A*X= 0 =E*X donc X€ker(E)

jai pas detaillé mais en gros ca donne ca :
 
A-*A*X=0 => ( en mulipliant par A a gauche) A*A-*A*X=0 => E*A*X=0 => A*X=0
 
non?